数控磨削过程中砂轮的空间位置应由其中心位置及其姿态角确定。复杂形状刀具有圆柱面、圆锥面、球面等不同外形及等导程、等螺旋角多种不同刃线形式，而且根据所采用的磨削工艺不同，选用的砂轮形状、参数及用于磨削加工的砂轮表面也不同，因此，在计算刀位时应综合考虑这些因素。
进行刀位计算时，首先需建立用来确定加工过程中砂轮相对加工部位位置的游动坐标系，再确定砂轮中心及轴线矢量在游动坐标系中的空间坐标，经过一系列的坐标变换获得砂轮在机床坐标系中的位置坐标及姿态，从而获得砂轮刀位。
选取刀刃曲线上加工点Ci为原点，刀刃曲线在该点的切向量Ti、刀具外形曲面在该点的主法向量Ni及副法向量Bi为坐标轴的坐标系作为游动坐标系。设刀具外形曲面S、刀刃曲线C及刀刃上任意点Ci在机床坐标系中的数学表达式为S=S（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}（u，v）∈DC=C（t）=S[u（t），v（t）]={x（t），y（t），z（t）}t∈（t0，tn）Ci=C（ti）={x（ti），y（ti），z（ti）}i=0，1，2，…，n（1），式中，D、（t0，tn）分别为刀具外形曲面和刀刃曲线的向量函数的定义域。
则活动标架的数学表达式为Ti=dC/dt|dC/dt|={Txi，Tyi，Tzi}Ni=（S/u）×（S/v）|（S/u）×（S/v）|={Nxi，Nyi，Nzi}Bi=Ti×Ni={Bxi，Byi，Bzi}（2）。
根据磨削工艺、砂轮参数等条件可确定砂轮在游动坐标系中的空间位置及姿态，得到砂轮端面圆心G和砂轮轴单位矢量I在活动标架中的坐标表达式G=GTiTi GNiNi GBiBiI=ITiTi INiNi IBiBi（3），设机床上砂轮端面圆心为机床坐标系的原点，根据机床的运动配置，转动机床相应轴使得砂轮轴单位矢量I与机床砂轮轴方向一致，设对应的坐标系转换矩阵为Mr。通过相应的坐标变换计算出砂轮端面圆心G在机床坐标系中空间位置坐标（Gxi，Gyi，Gzi），该坐标值即为各轴的绝对移动量。
来源：中国刀具网
